viernes, 22 de noviembre de 2013

Regla de L'Hôpital

, en donde f y g son derivables en un

entorno de a y existe límite

, este límite coincide con límite

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Función implícita

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada

de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:

$D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )$

REGLA DE LA CADENA

SI u ES UNA DIFERENCIABLE DE X, Y, F ES UNA FUNCION DIFERENCIABLE DE u ENTONCES F ES UNA DIFERENCIABLE DE X y Y.

REGLA DE LOS 4 PASOS

Regla de los 4 pasos

la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).
El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función.
La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:
1. Dar incrementos a “x” y a “y”
2. Restar la función Original
3. Dividir entre ∆x.
4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y

SIMBOLOGIA DE LA DERIVADA

Simbolos:

El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

Newton usó el apóstrofo para representar la derivada de una función. Así, para la función f(x) se representa su derivada como la función f'(x).

Leibniz en cambio usó una delta minúscula de la función (usada a veces como una d latina) siempre haciendo referencia a la variable respecto a la cual se deriva.Así la derivada de y respecto a x es dy/dx

En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:
dy
y
y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim
dx
!x
x

Los símbolos dx, dy y dx/dy, para las derivadas, fueron introducidos por Leibniz.Los símbolos f´(x), f´´(x), etc. para las derivadas, fueron introducidos por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.El símbolo d para la derivada parcial fue usada en 1770 por Antoine-Nicolas Caritat

Derivada

DERIVADA

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendientede la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denominadiferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.

lunes, 18 de noviembre de 2013

regla de la cadena

martes, 12 de noviembre de 2013

Calculadora gráfica

Con calculadora gráfica se hace referencia típicamente al tipo de calculadoras de bolsillo que son capaces de representar gráficas, resolver sistemas de ecuaciones y realizar muchas otras tareas con variables. Los modelos avanzados permiten la manipulación de expresiones matemáticas simbólicas; aunque todavía pueden encontrar limitaciones a la hora de resolver ciertas expresiones. Estas calculadoras son capaces de resolver sistemas matriciales y determinantes, y una gran cantidad de tareas con variables como integrales, ecuaciones de cuarto, tercer o segundo grado y derivadas.

Características de una calculadora gráfica

· Llevan incorporado un microprocesador.

· Son programables. El lenguaje de programación es básico, pero evoluciona con la aparición de nuevos modelos más potentes.

· Teclado alfanumérico. Cada tecla ejecuta hasta tres funciones, siendo una de ellas la inclusión de un signo de escritura o de puntuación. Si ese signo es una letra, entonces puede representar un texto escrito o unavariable de memoria. Los signos de puntuación y otros específicos son comandos del lenguaje de programación.

· Sistema operativo actualizable.

· Pantalla generosa que la hace favorable para la representación y el estudio de funciones.

· Los modelos recientes permiten la realización de gráficos en tres dimensiones.

· Trabajan con listas de datos y matrices.

· Llevan preinstalada una hoja de cálculo (versión adaptada).

· Son aptas para álgebra, cálculo, estadística avanzada y matemática financiera.

· Su utilidad se extiende a las áreas de ciencias y a las ingenierías: existen programas y aplicaciones fácilmente instalables.

· Conexión con el PC y con otros modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos).

· Utilizan tarjetas de memoria para guardar los programas.

· Visualización natural, en los modelos recientes: las expresiones matemáticas aparecen en pantalla como en los libros de texto.

· Algunos modelos tienen pantalla en color.

· Disponen de accesorios que aumentan sus aplicaciones en la enseñanza como sensores que permiten la recolección de datos experimentales para su posterior análisis y la posibilidad de conexión a un proyector

domingo, 27 de octubre de 2013

3 ejemplos

viernes, 25 de octubre de 2013

TEOREMAS

Teoremas sobre límites

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe lim_x->af(x)=b
T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E^*_a,δ1/ para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->af(x)=c => (por def. de límite) para todo E_c,ε existe un E^*_a,δ2/ para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε.

Consideremos un ε tal que E_b,ε ∩ E_c,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple

f(x) pertenece a E_b,ε
f(x) pertenece a E_c,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
lim_x->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
lim_x->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) =  x² si x <= 2
        -2x + 1 si x > 2

Ilustración geométrica de los límites laterales

lim_x->2-f(x)=4
lim_x->2+f(x)=-3
No existe lim_x->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) lim_x->af(x)=b
T) lim_x->a+f(x) = lim_x->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:
lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.

=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a(a - δ,a) f(x) pertenece al E_b,ε => (por def. de límites laterales) lim_x->a-f(x)=b.

y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a(a,a + δ) f(x) pertenece al E_b,ε => (por def. de límites laterales) lim_x->a+f(x)=b.

Recíproco:
lim_x->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al E_b,ε.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente a E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.

=> (por def. de límite) lim_x->af(x) = b.

Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe lim_x->2f(x), pues lim_x->2-f(x) ≠ lim_x->2+f(x).

Teorema

Conservación del signo

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

H) lim_x->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > 0

Demostración:

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.
Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.

Consideremos ε < b => 0 < b - ε < f(x) => f(x) > 0.

Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.
Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.

Teorema de la función comprendida

Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite.

H) lim_x->af(x) = lim_x->ag(x) = b
Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1f(x) <= h(x) <= g(x)
T) lim_x->ah(x)=b

Demostración:

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 b - ε < f(x) < b + ε.

lim_x->ag(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ3 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ3 b - ε < g(x) < b + ε.

Sea δ = min {δ1,δ2,δ3}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δb - ε < f(x) <= h(x) <= g(x) < b + ε

=> (por def. de límite) lim_x->ah(x) = b.

Teorema de la acotación

Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a.

H) lim_x->af(x)=b
T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E^*_a,δ h < f(x) < k

Demostración.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ

  b - ε  <  f(x)  <  b + ε
  --^--              --^--
    h                  k    
cota inferior      cota superior

Nota: también podemos expresar la tesis como:
Existe δ>0 y existen h y k reales positivos / para todo x perteneciente al E^*_a,δ
h < |f(x)| < k.

LIMITES INFINITESIMOS

Una sucesión a_n es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero.

lim a_n = 0

Ejemplo:

Las sucesiones:

son infinitésimos porque:

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5.Si una sucesión a_n converge a L, la sucesión (a_n − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión a_n es divergente, su inversa es un infinitésimo.

propiedades de los limites infinitos

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x² para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10^-4
1.000	1,0x10^-6
10.000	1,0x10^-8
100.000	1,0x10^-10
1.000.000	1,0x10^-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Ilustración geométrica del límite infinito

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Definición

Límite infinito

Caso 1:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

Caso 2:

lim_x->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

lim_x->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

lim_x->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) < -A.

Caso 5:

lim_x->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) > A.

Caso 6:

lim_x->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) < -A.

Caso 7:

lim_x->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) pertenece al E_b,ε.

Caso 8:

lim_x->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) pertenece al E_b,ε.