3 ejemplos

TEOREMAS

Teoremas sobre límites

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe lim_x->af(x)=b
T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E^*_a,δ1/ para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->af(x)=c => (por def. de límite) para todo E_c,ε existe un E^*_a,δ2/ para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε.

Consideremos un ε tal que E_b,ε ∩ E_c,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple

• f(x) pertenece a E_b,ε
• f(x) pertenece a E_c,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
lim_x->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
lim_x->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) =  x2 si x <= 2
        -2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4 limx->2+f(x)=-3 No existe limx->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) lim_x->af(x)=b
T) lim_x->a+f(x) = lim_x->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:
lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.

=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a(a - δ,a) f(x) pertenece al E_b,ε => (por def. de límites laterales) lim_x->a-f(x)=b.

y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a(a,a + δ) f(x) pertenece al E_b,ε => (por def. de límites laterales) lim_x->a+f(x)=b.

Recíproco:
lim_x->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al E_b,ε.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente a E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.

=> (por def. de límite) lim_x->af(x) = b.

Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe lim_x->2f(x), pues lim_x->2-f(x) ≠ lim_x->2+f(x).

Teorema

Conservación del signo

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

H) lim_x->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > 0

Demostración:

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) pertenece al E_b,ε.
Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.

Consideremos ε < b => 0 < b - ε < f(x) => f(x) > 0.

Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.
Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.

Teorema de la función comprendida

Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite.

H) lim_x->af(x) = lim_x->ag(x) = b
Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1f(x) <= h(x) <= g(x)
T) lim_x->ah(x)=b

Demostración:

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 b - ε < f(x) < b + ε.

lim_x->ag(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ3 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ3 b - ε < g(x) < b + ε.

Sea δ = min {δ1,δ2,δ3}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δb - ε < f(x) <= h(x) <= g(x) < b + ε

=> (por def. de límite) lim_x->ah(x) = b.

Teorema de la acotación

Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a.

H) lim_x->af(x)=b
T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E^*_a,δ h < f(x) < k

Demostración.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ

  b - ε  <  f(x)  <  b + ε
  --^--              --^--
    h                  k    
cota inferior      cota superior

Nota: también podemos expresar la tesis como:
Existe δ>0 y existen h y k reales positivos / para todo x perteneciente al E^*_a,δ
h < |f(x)| < k.

LIMITES INFINITESIMOS

Una sucesión a_n es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero.

lim a_n = 0

Ejemplo: 

Las sucesiones:

son infinitésimos porque:

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5.Si una sucesión a_n converge a L, la sucesión (a_n − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión a_n es divergente, su inversa es un infinitésimo.

propiedades de los limites infinitos

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x² para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10-4
1.000	1,0x10-6
10.000	1,0x10-8
100.000	1,0x10-10
1.000.000	1,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Definición

Límite infinito

Caso 1:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

Caso 2:

lim_x->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

lim_x->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

lim_x->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) < -A.

Caso 5:

lim_x->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) > A.

Caso 6:

lim_x->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) < -A.

Caso 7:

lim_x->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) pertenece al E_b,ε.

Caso 8:

lim_x->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todox < -B f(x) pertenece al E_b,ε.

 

propiedades de los limites

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f ^g , en el punto x = a, es l ^m.

lim (f(x))^g(x) = lim (f(x))^{lim g(x)}

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x = a, es l.

trabajo 8 funciones pares e impares

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplos 1:
La función y(x)=x  es impar ya que:
 f(-x) = -x                                                           
 pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:
Otra función impar es y = 1/x
Cuando f(x) = -f(-x)
                      

Ejemplo 3:
La función f(x)=x² es par  ya que f(-x) = (-x)² =x²

trabajo 7 funciones monotonas

Función monótona

En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Sea  Definición general

una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla de funciones entre subconjuntos de los reales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.

La función f es monótona si y sólo si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.

Monotonía en cálculo y análisis

En cálculo no hay usualmente necesidad de invocar los métodos abstractos de la teoría del orden. Como ya se señaló, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) números reales, ordenados de forma natural.

Por la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman también monótonamente crecientes (o no decreciente), respectivamente.

Ejemplo gráfico

A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función. La segunda de ellas es escrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente (presenta máximos y mínimos relativos).

Función monótona creciente.

Función monótona decreciente.

Función no monótona.

Aplicaciones y resultados básicos

Monotonía En matemáticas, cada una de las siguientes propiedades de una función f : R → R implica la siguiente:

• f es monótona.
• f tiene un límite por la izquierda y por la derecha en cualquier punto de su dominio de definición.
• f sólo puede tener discontinuidades de salto.
• f sólo puede tener una cantidad enumerable de discontinuidades.

Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el análisis matemático. Dos importantes hechos que se deducen de que una función sea monótona son:

• Si f es una función monótona definida en un intervalo I, entonces f es derivable casi siempre en I, es decir, el conjunto de puntos xen I en donde f no es diferenciable tiene medida de Lebesgue 0.
• Si f es una función monótona definida en un intervalo [a, b], entonces f es Riemann-integrable.

Una importante aplicación de las funciones monótonas es en probabilidad. Si X es una variable aleatoria, su función de distribución

es una función creciente.

trabajo 6 funciones crecientes y decrecientes

Funciones crecientes y decrecientes

Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo..

Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo, .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

creciente

decreciente

constante

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado  y derivable en el intervalo abierto .

1. Si  es creciente en 
2. Si  es decreciente en 
3. Si  es constante en 

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x² − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)².

Como (x − 1)²es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x² + (1 / x²) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x³) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x² + 1)] / x³

Como 2(x² − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ > 0 y

f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .

Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo 4

Trace la gráfica de la funcion definida por

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x = 3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf), y es decreciente en el intervalo [1,3]. 

Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando primero la derivada de f:

F(x) = 3x² − 12x + 9

Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:

3x² − 12x + 9 = 0

3(x − 3)(x − 1) = 0

x = 3x = 1

Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:

Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.

Ejemplo 5

Sea

Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas gráficamente.

Solucion Al diferenciar f se tiene

Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son -1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:

La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ − 7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente gráfica 

Demostración

Creciente

Supongamos que  y sean x₁ < x₂ dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x₁ < c < x₂, y

f

′

(c)=

f(

x

2

)−f(

x

1

)

x

2

−

x

1

Como f'(c) > 0 y

x₂ − x₁ > 0, sabemos que

f(

x

2

)−f(

x

1

)>0

de donde se deduce que f(x₁) < f(x₂). Así pues, f es creciente en el intervalo.